Catatan kecil koe....

Selasa, 02 November 2010

Trigonometri

Trigonometri, berasal dari bahasa Yunani yakni trigono yang berarti 3 sudut dan metro yang berarti mengukur. Dalam hal ini, Trigonometeri adalah cabang matematika yang mempelajari sudut-sudut pada segitiga serta fungsi trigonometriks yakni sinus, cosinus dan tangen. Trigonometri mempunyai hubungan dengan geometri, meskipun banyak penyangkalan bahwa ke dua ilmu ini tidak memiliki hubungan sama sekali. Namun bagi sebagian orang, trigonometri merupakan bagian dari geomteri.

Awal mula Trigonometri diketahui pada zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, sekitar 3000 tahun yang lalu. Salah satu tokoh perintis, berkebangsaan India bernama Lagadha. Sekitar tahun 150 SM, tokoh Matematikawan berkebangsaan Yunani, Hipparchus merampungkan tabel trigonometri segitiga. Dilanjutkan dengan matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy berhasil mengembangkan penghitungan trigonometri tingkat lanjut. Dan pada tahun 1595, Bartholemaesus Pitiskus, seorang matematikawan Silesia menerbitkan sebuah karya yang memberikan kontribusi yang besar dalam ilmu trigonometri.

Hubungan Trigonometri

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,$

$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,$

$1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,$

Penjumlahan

Berikut adalah penjumlahan yang berlaku dalam Trigonometri

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,$

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,$

$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,$

Lalu dalam Trigonometri itu sendiri dikenal operasi :

Rumus Sudut Rangkap Dua

$\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,$

$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,$

$\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,$

Rumus Sudut Rangkap Tiga

$\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,$

$\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,$

Rumus setengah sudut

$\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,$

$\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,$

$\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,$

Referensi :

http://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri

http://id.shvoong.com/exact-sciences/architecture/2042383-mengenal-geometri/.

Geometri

Jika kita mendengar kata Geometri, arah pemikiran kita mengacu pada ilmu pengukuran bumi. Menilik dari bahasa, Geometri berasal dari bahasa Yunani, "Geo" yang artinya bumi dan "metria" yang artinya pengukuran.

Geometri merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika. Ilmu Geomteri sudah dipelajari sejak peradaban Mesir Kuno, juga berkembang pada masyarakat Lembah sungai Indus dan peradaban Babilonia, sekitar 3.000 SM. Diketahui, kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia hanya terbatas pada perhitungan yang mengarah pada panjang dari garis, luas dan volume.Bukti yang menguatkan pendapat tentang geometri adalah ditemukannya Prasasti kuno yang ditemukan di Mesir, India hingga Cina.

Seiring waktu, geometri mengalami banyak fase evolusi. Sekitar abad ke 17, Geometri mengalami fase baru yakni Geometri mengenal koordinat dan persamaan yang dicetuskan Descartes antara tahun 1596-1050 dan Pierre de Fermat antara tahun 1601 - 1665. Dengan fase ini, turut memberikan dampak sangat besar dalam pengembangan kalkulus sekitar abad ke 17. Pada tahap ini pula didukung oleh seseorang yang turut andil dalam mengukir sejarah pengembangan geometri yakni Girard Desargues (1591-1661).

Teorema Phytagoras

Dari berbagai ilmu Geometri, Teorema Phytagoras adalah salah satu cabang ilmu geomteri yang sangat terkenal. Teorema Phytagoras memiliki keterkaitan dalam geometri Euklides antara sisi sebuah segitiga siku-siku. Sebenarnya Teorema ini sudah lama diketahui oleh seorang matematikawan India, yakni Baudhayana dan Kathayana,dan matematikawan dari berbagai negara seperti Yunani, Tionghoa dan Babilonia, jauh sebelum Phytagoras lahir. Namun Phytagoras yang paling sering dianggap sebagai penemu teorema ini karena dialah yang membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis. Hal ini juga diperkuat dengan keberadaan 2 bukti kontemporer yang dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Phytagoras. Salah satunya dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching dan dalam buku Elemen Euklides

Dalam teorema Phytagoras dijabarkan bahwa :

Jumlah Luas Bujur Sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus. Yang mana teorema ini menyebutkan bahwa :

yang mana dari gambar diatas, akan menghasilkan :

dan dari persamaan ini, dirumuskan menjadi

Archimedes

Archimedes adalah sosok yang turut andil dalam sejarah perkembangan ilmu pengetahuan lewat penelitian-penelitian dan pembuktian-pembuktian yang telah dilakukannya.

Archimedes dahulunya mempelajari matematika dan fisika. Penemuan yang juga menjadi tonggak penting dalam ilmu matematika adalah, penemuan rumus keliling lingkaran (2πr) dan luar lingkaran (πr²).

^{Dalam geomteri euklid, sebuah lingkaran adalah sebuah himpunan titik-titik dalam jarak tertentu. Berikut ini adalah elemen-elemen dalam lingkaran}

^{n sebuah titik pada lingkaran adalah tolok ukur dalam penentuan jarak terhadap kumpulan-kumpulan titik yang membangun lingkaran, yang mana elemen ini disebut dengan Titik pusat. Titik pusat ini adalah jarak antara titik sentral dengan lingkaran yang memiliki nilai tetap.}
^{Elemen lingkaran yang terdiri dari garis, yakni : Jari-jari (R), Tali Busur (TB), Busur (B), Keliling Lingkaran (K) dan Diameter (D)}
^{Elemen lingkaran yang terdiri dari Luas terdiri dari Juring (J), Tembereng (T), Cakram (C)}

Refrensi :

http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_pythagoras

http://id.wikipedia.org/wiki/Lingkaran

Persamaan Garis Lurus (Titik dan Garis)

Masih ingat dengan Sistem Koordinat Kartesius?

sebelum lanjut, mari kita telusuri sejarah singkat, apa yang dimaksud dengan Kartesius.

Adalah seorang filsuf dan matematikawan, berwarga negara Perancis yang sangat terkenal pada masanya, beliau bernama Rene Descartes. Rene Descartes dikenal sebagai Cartesius. Kita mengenal istilah Cartesius untuk mengenang perananan besar dari seorang Rene Descartes dalam bidang ilmu pengetahuan khususnya matematika, yang mempengaruhi perkembangan kalkulus modern. Karyanya yang terpenting ialah Discours de la méthode (1637) dan Meditationes de prima Philosophia (1641).

Dalam diagram kartesius, dilibatkan dua garis yang tolok ukur dalam penentuan posisi atau letak suatu titik. Dua garis ini letaknya saling tegak lurus dengan titik pusat (0,0), yang selanjutnya disebut sumbu koordinat. Sumbu vertikal disebut dengan pasangan absis x dan sumbu horizonal disebut ordinat y.

Persamaan Garis Lurus digambarkan dalam bentuk :

Dalam menggambar pada diagram kartesius, hal yang mendasar harus diketahui adalah penentuan duah buah titik yang bersesuaian dengan persamaan garis yang dimaksud, lalu :

Tentukan terlebih dahulu titik-titik yang memenuhi persamaan y = mx + c dengan memasukkan nilai x pada persamaan.
Setelah penentuan titik-titik yang bersesuaian, tarik garis lurus pada titik tersebut

Misalnya :

Dalam Persamaan garis lurus, dikenal dengan istilah Gradien. Gradien adalah Perbandingan antara komponen x (absis) dan komponen y (ordinat) antara dua titik pada garis itu. Gradien juga dikenal sebagai koefisien arah pada garis lurus yang dilambangkan dengan huruf m. Gradien ini terbagai menjadi 2 macam yakni :

Gradien garis yang melalui Titik Pusat (0,0) dan Titik (x,y). Misalnya diketahui sebuah titik (2,4). Berapakah persamaan garis yang melalui titik pusat? Dari permasalahan ini, penyelesaian adalah Persamaan garis (0,0) dan (2,4) ialah y = 4/2x <=> y = 2x, sehingga gradiennya adalah 2.
Gradien garis yang melalui Dua Buah Titik (x1,y1) dan (x2,y2). Dalam hal ini berlaku fungsi :

misalnya diketahui titik (2,3) dan (4,6), maka gradiennya adalah m = 6-3/4-2 <=> 3/2

Gradien Garis Yang Sejajar Sumbu-X dan Sumbu-Y. Dalam kondisi ini, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y tidak didefinisikan.
Gradien Garis Yang Saling Sejajar
Gradien Garis Yang Tegak Lurus

Penentuan Persamaan Garis

Penentuan persamaan suatu garis tertentu, haruslah memperhatikan kondisi-kondisi berikut ini yakni :

Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (a,b) dengan gradien m. Bentuk ini, akan menghasilkan y - b = m(x - a)

Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Titik (x1,y1) dan (x2,y2). Rumus yang digunakan adalah

Menentukan Persamaan Garis yang Sejajar Dengan Garis Lain dan Melalui Sebuah Titik. Penentuan gradien garis-garis yang sejajar ini adalah langkah yang harus dilakukan dalam mengetahui persamaan garis yang sejajar dengan garis lain dan melalui sebuah titik tertentu. Sehingga, konsep y - b = m(x - a) digunakan dalam kondisi ini.
Menentukan Persamaan Garis yang Tegak Lurus dengan Garis Lain dan Melalui sebuah Titik. Sebagai gambaran untuk kondisi ini, perhatikan contoh berikut ini :

Disamping itu, dalam kondisi tertentu apabila terdapat 2 buah garis yang tidak sejajar, akan berpotongan pada titik tertentu. Sehingga, dalam kondisi ini dikenal dengan istilah Titik Potong Dua Garis. Misalnya :

maka, dari operasi ini menghasilkan :

Referensi :
http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesius
Nugroho, Heru.,Meisaroh,Lisda.2009.Matematika SMP dan MTS Kelas VIII. Jakarta:PT. Pelita Ilmu

Intro....

Well....

selamat sore. Puji Tuhan, aku diijinkan untuk meramaikan dunia blogging. hmmm, mudah-mudahan seh bisa lebih memberikan semacam pencerahan? oh my god, pencerahan? bahasanya dalem banged yah. hahaha

Oke, to the point. Nama aku, Made Adhi Sanjaya, anak ke dua, dari dua bersodara, cita-cita kuh...banyak cekali, aku penen jadi doktel, jadi insinyul...cama jadi olang yang belguna...(sok imut mode on)

hehehe, blog ini aku buat, yah sekedar melepaskan unek-unek aku. Semacam apa ya? semacam buku harian yagn tidak bermuatan pribadi (hihihi, entar bisa2 kecolongan lagi). Trus aku juga buat blog ini, yar bisa pamer sama dosen aku (hahaha, emang harus buat blog, buat kumpul tugas. hehehehe).

mudah-mudahan tulisan aku, baik itu hasil editan, saduran,kopas de el el, bisa memberikan informasi tertentu, bagi yang belum sama sekali mengetahuinya.

salam sahabat,

Made Adhi Sanjaya

Catatan kecil koe....

Beranda

Selasa, 02 November 2010

Trigonometri

Rumus setengah sudut

Geometri

Persamaan Garis Lurus (Titik dan Garis)

Intro....

Mengenai Saya

Arsip Blog